Введение Присмотритесь-ка к квадрату:Он здоровый, тороватый,Он надежнее как друг,Чем уж слишком круглый круг.В нем четыре стороны И все стороны равны.Честен каждою чертой,Каждый угол в нем прямой.Тем еще квадрат отличен,Что вполне он симметричен,Треугольников всех ратьВам того не может дать. Е. ПаинПравильные многоугольники с глубокой древности считались символом красоты и совершенства. Из всех многоугольников с заданным числом сторон наиболее приятен для глаза правильный многоугольник, у которого равны все стороны и равны все углы. Одним из таких многоугольников является квадрат или другими словами, квадрат- это правильный четырехугольник.Дать определение квадрату можно несколькими способами: квадрат это прямоугольник, у которого все стороны равны и квадрат это ромб, у которого все углы прямые.Из школьного курса геометрии известно:1 у квадрата все стороны равны,2 все углы прямые, 3 диагонали равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.4 Квадрат обладает симметрией, которая придает ему простоту и известное совершенство формы: квадрат служит эталоном при измерении площадей всех фигур.Это малая часть того, что можно раскрыть в этом вопросе, потому что современной математике известно достаточно много интересных и полезных свойств квадрата. Поэтому целью данного реферата является: 1 подробнее исследовать свойства квадрата,2 рассмотреть геометрические способы раскроя квадрата,3 обосновать возможности превращений фигур при помощи разрезания квадрата,4 найти различные варианты построений, которые можно воспроизвести при помощи перегибания квадратного листа бумаги, и выявить преимущества в таком виде построений.При изучении данной темы использовались статьи из книг и журналов, посвященных отдельным вопросам метематики.В. Ф. Каган «О преобразовании многогранников». В этой книге приводится доказательство теоремы Ф. Больаи на примере квадрата. В книге «Удивительный квадрат» Б.А. Кордемского и Н.В. Русалева подробно изложены доказательства некоторых свойств квадрата, приведены пример «совершенного квадрата» и решение одной задачи на разрезание квадрата арабским математиком Х века Абулом Вефой.В книге И. Лемана «Увлекательная математика» собрано несколько десятков задач, среди которых есть и такие, возраст которых исчисляется тысячелетиями. Из этой книги в реферате были использованы задачи на разрезания квадрата.Книги Я.И. Перельмана принадлежат к числу наиболее доступных из книг, посвященных занимательной математике. В книге «Занимательная геометрия» популярно изложен вопрос о фигурах с наибольшей площадью при данном периметре или с наименьшим периметром при данной площади.Для полного представления о построении при помощи перегибания квадратного квадрата листа бумаги была использована книга И.Н. Сергеева «Примени математику». ГЛАВА I. 1.1 ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КВАДРАТАУ квадрата есть два практичных свойства:Периметр квадрата меньше периметра любого равновеликого ему прямоугольника,Площадь квадрата больше площади любого прямоугольника с тем же периметром. Рис.1В своей книге «Удивительный квадрат» Б.А. Кордемский и Н.В. Русалев подробно описывают доказательства этих свойств.Для доказательства первого свойства был сравнен периметр квадрата АВСD, со стороной x, данной площади (рис.1) с каким-либо прямоугольником ВЕFG,с большей стороной y, той же площади. Очевидно, что y больше x, ; тогда другая сторона z непременно меньше x. По чертежу видно, что АВЕК- общая часть и для квадрата и для прямоугольника; остаются два равновеликих прямоугольника АКFG и КЕСD, т.е. АG FG = DС КD. Но так как FG<DC, то AG>KD или y x > x z. Отсюда y+z>2x и 2y+2z>4x, то есть периметр любого прямоугольника, равновеликого квадрату, больше периметра квадрата. Значит, среди всех равновеликих прямоугольников квадрат обладает наименьшим периметром.Для доказательства второго свойства авторы книги использовали метод, когда доказывают обратные теоремы от противного.Дан квадрат, периметр которого равен p, а площадь равна q.Пусть существует прямоугольник, периметр которого тоже равен p, а площадь Q>q. Затем авторы построили новый квадрат, равновеликий этому прямоугольнику, то есть с площадью, тоже равной Q, и, следовательно, большей, чем площадь данного квадрата. Но по предыдущей теореме периметр нового квадрата p <p.Значит, площадь нового квадрата больше площади данного, а периметр меньше. Это невозможно. Следовательно, не существует прямоугольника с периметром таким же, как у квадрата и площадью большей, чем площадь квадрата. Не существует также и прямоугольника, имеющего площадь, равную площади данного квадрата, так как в этом случае периметр квадрата меньше периметра прямоугольника, что противоречит условию.Эти свойства можно считать практичными, потому что их можно использовать в жизненных ситуациях. Например, если нужно огородить изгородью, забором или решёткой участок земли определённой площади так, чтобы длина ограды была насколько возможно малой, причём огороженный участок должен быть прямоугольной формы, но с любым соотношением сторон. В переводе на точный, математический язык это значит: какой из прямоугольников данной площади имеет наименьший периметр?В книге «Занимательная геометрия» Я.И. Перельмана приведены примеры и популярно изложены вопросы о фигурах с наибольшей площадью при данном периметре или с наименьшим периметре при данной площади 1.2 КВАДРАТ В КВАДРАТЕУ квадрата, вписанного в квадрат, есть некоторые особенности. а) б) в)Рис. 2.Если соединить последовательно середины сторон квадрата АВСD (рис.2,а) отрезками, то получится новый квадрат ЕFКL, площадь которого составляет половину площади данного квадрата АВСD.Если отрезать четыре прямоугольных треугольника, расположенных по углам квадрата АВСD. Сумма их площадей также составляет половину площади квадрата АВСD. Если принять площадь квадрата АВСD за единицу, то сумма площадей отрезанных треугольников равна µ.Если в оставшийся квадрат ЕРКL таким же образом вписать квадрат A B C D (рис. 2, б) и опять отрезать четыре треугольных уголка. Сумма площадей отрезанных треугольников составит µ площади квадратаЕFKL и, значит, площади квадрата АВСD. Повторяя этот приём (рис.2,в), получается еще четвёрка треугольников, сумма площадей которых составит площади квадрата АВСD.Применяя этот приём любое число раз, будет получаться всё новые четвёрки прямоугольных треугольников, которыми снова можно выложить первоначальный квадрат. Су
Удивительный квадрат
Школа 14 "Зеленый шум" Волжский
[16]Проекты участников дистанционной конференции школьных ученических проектов.
Категории каталога
Вторник, 05.02.2013, 12:14 |
Удивительный квадрат - Проекты - Каталог статей - Персональный сайт
Комментариев нет:
Отправить комментарий